数学小组作业：探究圆的方程

数学小组作业：探究圆的方程 一、园的标准方程 i) 圆心在原点上（特殊） 观察这个图形，不难发现它是以原点为圆心，半径为 2 的一个圆形。 那么圆上的任意一点满足什么条件呢？ 我们知道，任意一点到圆心的距离都是一定的，那就是——半径 r。 那么图中圆上的每一个点都满足 x^2+y^2=2^2，这就是这个圆的标准方程。 此时不难发现，一个半径为 r 的圆，以圆心为原点建系，可知这个圆的标准方程就是 x^2+y^2=r^2。 ii) 圆心不在原点上（一般） 观察上图，多了一个橙色的圆，设以原点为圆心的圆是 \odot 1，另一个圆为 \odot 2，不难发现 \odot 2 由 \odot 1 向下平移两个单位长度，向右平移一个单位长度得到，那么两个圆的方程有什么联系吗？ 从平移的角度： 在学习二次函数的顶点式时，我们知道：左加右减，也就是向负半轴方向平移时要加，而向正半轴平移时要减。 \because \odot 1 : x^2+y^2=2^2 \therefore \odot 2 : (x-1)^2+(y+2)^2=2^2 从两点坐标公式的角度： 圆上的任意一点 P(x,y) 到圆心 Q(1,-2) 的距离都为 r， 所以根据平面直角坐标系两点之间的距离公式可以得出： \odot 2 : (x-1)^2+(y+2)^2=2^2 根据上述探究，如果我们知道在平面直角坐标系中有一个圆的圆心坐标为 (a,b)，半径为 r，那么它的标准方程就是 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 iii) 演示 圆 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 随三个参数改变而改变。 二、特殊的圆——单位圆 i) 定义 单位圆是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆。 ii) 作用 1. 在单位圆上定义三角函数 现在我们有一个角 θ，它的顶点在原点，始边在 x 轴正半轴上。 角 θ 的终边与单位圆相交于一个点 P。 点 P 的坐标是 (x, y)。 那么，角 θ 的三个基本三角函数就定义为： 正弦 \sin θ = y（点的纵坐标） 余弦 \cos θ = x（点的横坐标） 正切 \tan θ = y/x（点的纵坐标与横坐标的比值） 2. 单位圆带来的巨大好处 这种几何定义方式，让许多三角函数的性质变得一目了然： 直观理解符号变化 在第一象限，x 和 y 都为正，所以 \sin θ 和 \cos θ 都为正。 在第二象限，x 为负，y 为正，所以 \cosθ 为负，\sinθ 为正。 以此类推，这就是著名的”全正切余“口诀的来源。 理解周期性 当角 θ 增加或减少 2π 时，终边又回到了完全相同的位置，点 P 的坐标 (x, y) 也完全相同。 所以 \sin (θ + 2π) = \sin θ，\cos(θ + 2π) = \cos θ。周期性在单位圆上就是“转了一圈回到原点”。 理解基本恒等式 因为点 P(x, y) 在圆 x^2+ y^2= 1 上，所以直接可得最重要的恒等式： \sin ^2 θ + \cos ^2 θ = 1 定义任意大小的角 传统的直角三角形定义只能描述锐角。 单位圆定义可以将三角函数推广到任意角度，无论是正角、负角，还是大于 360° 的角。 统一理解所有三角函数 正切 (tan θ) 也可以被几何地表示为单位圆上一条切线的长度（这就是“正切”这个名字的由来）。 其他三个三角函数（正割sec、余割csc、余切cot）也都可以在单位圆上找到对应的几何线段表示。 iii) 演示 三、用代码画一个圆 以下是 python 代码实现，可以访问python代码画圆进行体验。 原理：多边形逼近法，其中参数“精度”即正多边形的边数。 import turtle import math def draw_circle(): # 输入参数 x0, y0 = float(input("圆心x: ")), float(input("圆心y: ")) r = float(input("半径: ")) n = int(input("精度: ")) t = turtle.Turtle() t.speed(0) # 直接绘制完整圆 t.penup() t.goto(x0 + r, y0) # 从最右侧开始 t.pendown() # 绘制圆 for i in range(n + 1): a = 2 * math.pi * i / n x = x0 + r * math.cos(a) y = y0 + r * math.sin(a) t.goto(x, y) # 标记圆心 t.penup() t.goto(x0, y0) t.dot(6, "red") t.hideturtle() turtle.done() draw_circle() `import turtle import math def draw_circle(): # 输入参数 x0, y0 = float(input("圆心x: ")), float(input("圆心y: ")) r = float(input("半径: ")) n = int(input("精度: ")) t = turtle.Turtle() t.speed(0) # 直接绘制完整圆 t.penup() t.goto(x0 + r, y0) # 从最右侧开始 t.pendown() # 绘制圆 for i in range(n + 1): a = 2 * math.pi * i / n x = x0 + r * math.cos(a) y = y0 + r * math.sin(a) t.goto(x, y) # 标记圆心 t.penup() t.goto(x0, y0) t.dot(6, "red") t.hideturtle() turtle.done() draw_circle()`